Claude améliore la limite des zéros de l'hypothèse de Riemann de 41,6 % à 67,2 %

La version de recherche non publiée de Claude, développée par Anthropic, a amélioré une borne inférieure de longue date pour la proportion de zéros de la fonction zêta de Riemann qui se trouvent sur la ligne critique (là où l'hypothèse de Riemann prédit que tous les zéros se trouvent). La borne passe de 41,6 % à 67,2 %, un bond qui a surpris les chercheurs. Bien que l'IA n'ait pas prouvé l'hypothèse de Riemann elle-même, son résultat constitue une avancée notable en théorie analytique des nombres.

La percée

L'idée clé de Claude a été de combiner les résultats de Baluyot, Goldston, Suriajaya et Turnage-Butterbaugh (des travaux qui adaptent les techniques de Montgomery de 1973 sans supposer l'hypothèse de Riemann) avec un article de Bombieri datant de 2000. En termes simples, Claude a construit un espace de fonctions approprié avec une forme quadratique induite par Weil, et a considéré des sous-espaces définis positifs et négatifs correspondant aux zéros sur la ligne et hors de la ligne. En écrivant une inégalité sur le rang de la forme quadratique à l'aide des informations de premier et second moments, il a obtenu la nouvelle borne.

Selon la note d'Anthropic, l'approche traite l'espace entier ensemble, la forme quadratique étant autorisée à être non diagonale — une étape qui permet la conclusion à partir des travaux antérieurs. Deux mathématiciens d'Anthropic ont validé l'article et produit une note informelle d'expert, et des experts externes Brian Conrey et Dan Goldston l'ont également examiné à court préavis.

Comment Claude a travaillé

Le résultat est issu de deux sessions dans Claude Code, utilisant un total de 31 millions de jetons de sortie. Jarred Sumner, un membre du personnel d'Anthropic (et non mathématicien), a demandé à Claude de « tenter sérieusement » l'hypothèse de Riemann elle-même, laissant les choix mathématiques au modèle. Initialement, Claude a généré 650 idées qui ont échoué, ce qui a conduit à une autre exécution. Dans la deuxième session, Claude a coordonné environ 60 sous-agents pendant un jour et demi, exécutant 2 400 commandes shell et écrivant des centaines de scripts Python. Les sous-agents ont effectué des milliers de vérifications numériques par rapport aux zéros connus de zêta et ont examiné mutuellement leurs travaux.

Une preuve formellement vérifiable

Notamment, Claude a également produit une preuve formellement vérifiable de son résultat, complétant la note informelle destinée aux experts. Cela ajoute à la plausibilité de la découverte, bien que l'équipe ne s'attende pas à ce que ces techniques permettent de résoudre l'hypothèse de Riemann elle-même.

Pour les développeurs utilisant des agents IA, c'est un exemple concret de la progression du raisonnement mathématique — et de la façon dont un non-mathématicien peut guider un agent pour apporter une véritable contribution à la recherche.